TOÁN 11 CHƯƠNG II

TỔ HỢP - XÁC SUẤT

Bài 1.
HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN

QUY TẮC ĐẾM
Nhắc lại tập hợp:
Số phần tử của tập hợp hữu hạn A được kí hiệu là n(A) hoặc |A|
Ví dụ : Cho A={1;2;3;4;5;6} ; B= {2;4;6;8}
Dùng kí hiệu viết số phần tử của các tập hợp sau:
a) A;B
b)

A  B; A  B; A \ B

Giải
a) n(A) = 6; n(B) = 4
b) n( A  B ) 7

n( A  B ) 3
n( A \ B) 3

CÁCH KÍ HIỆU SỐ PHẨN TỬ CỦA MỘT TẬP HỢP
Người ta dùng hai kí hiệu n(A) hoặc |A|
VD: Nếu A={a;b} và B={1;a;b}, ta viết
+ Số phần tử tập hợp A là n(A)= 2 hoặc |A|=2
+ Số phần tử tập hợp B là n(B)=3 hoặc |B|=3
A\B={1} thì ta viết thì ta viết số phần tử của tập hợp A\B
là n(A\B)=1 hoặc |A\B|=1

ĐẶT VẤN ĐỀ
VD1: Một bài thi trắc nghiệm khách quan gồm 10 câu. Mỗi
câu có 4 phương án trả lời. Hỏi bài thi đó có bao nhiêu
phương án?
QUY TẮC NHÂN
=> 10.4=40 phương án
VD2: Lớp 11/11 có 23 bạn nữ và 16 bạn nam. Hỏi có bao
nhiêu cách chọn ra một bạn để thi văn nghệ học đường?
=> TH1: Nữ có 23 cách
TH2: Nam có 13 cách
QUY TẮC CỘNG
23+16=39 cách chọn

I. QUY TẮC CỘNG

I. QUY TẮC CỘNG
VD: Trong một hợp chứa năm quả cầu màu vàng được
đánh số từ 1 đến 5 và năm quả cầu màu đỏ được đánh số
từ 6 đến 10. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một quả cầu
trong các quả cầu ấy?
TH1: Chọn quả màu vàng 5 cách
TH2: Chọn quả màu đỏ 5 cách
--> Số cách chọn một trong
các quả cầu là 5 + 5 = 10 cách.

1

2

3

4

6

7

8

9

5
10

I. QUY TẮC CỘNG
Quy tắc cộng:
Giả sử một công việc bởi một trong hai hành động
(hoặc hành động A hoặc hành động B).
Nếu hành động A có m cách thực hiện, hành động B
có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào
của hành động A thì công việc đó có thể
thực hiện bởi m + n cách thực hiện.

I. QUY TẮC CỘNG
Quy tắc cộng giữa số phân tử của hợp hai tập hợp hữu
hạn không giao nhau, được phát biểu như sau:
Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn không giao nhau, thì:

nA  B  nA nB 

I. QUY TẮC CỘNG
Quy tắc cộng có thể mở rộng cho nhiều hành động.

Giả sử một công việc có thể thực hiện theo một trong k
phương án A1, A2, ...,Ak. Có n1 cách thực hiện phương
án A1, có n2 cách thực hiện phương án A2, ..., có nk
cách thực hiện phương án Ak. Khi đó công việc có thể thực
hiện bởi n1 + n2 + ... + nk cách.

I. QUY TẮC CỘNG
VD: Trong một cuộc thi tìm hiểu về đất nước Việt Nam, ban
tổ chức công bố danh sách đề tài bao gồm: 5 đề tài về lịch
sử, 12 đề tài về thiên nhiên, 10 đề tài về con người và 7 đề
tài về văn hóa. Mỗi thí sinh được quyền chọn một đề tài.
Hỏi bạn Minh có bao nhiêu khả năng lựa chọn đề tài?
Þ TH1: Lịch sử 5 cách chọn
TH2: TN 12 cách chọn
TH3: Con người 10 cách chọn
TH4: VH 7 cách chọn
Theo quy tắc cộng ta có: 5 + 12 + 10 + 7 = 34 cách chọn
Vậy bạn Minh có 34 khả năng lựa chọn đề tài.

I. QUY TẮC CỘNG
VD: Trong lớp 11/11 có 28 học sinh tham gia câu lạc bộ Tự
nhiên và 14 học sinh tham gia câu lạc bộ Xã hội, không có
học sinh cùng tham gia hai câu lạc bộ và mỗi học sinh đều
tham gia một câu lạc bộ. Hỏi lớp 11CB6 có bao nhiêu học
sinh?
=> TH1: Học sinh tham gia CLB Tự nhiên n(A)=28
TH2: Học sinh tham gia CLB Xã hội n(B)=14
Theo quy tắc cộng ta có: n(A)+n(B)=42 học sinh
Vậy lớp 11/11 có 42 học sinh.

Ví dụ 2: Có bao nhiêu hình vuông trong hình bên ?

1234
2

3

4

5

10 9

8

7

6

1

1 cm

Loại 1: Cạnh có độ dài 1cm là 10(hv)
Loại 2: Cạnh có độ dài 2cm là 4(hv)

Tổng số hình vuông là: 10 + 4 = 14 (hv)
cc

QUY TẮC ĐẾM
Ví dụ 3 : Có 5 viên bi xám, 2 viên bi trắng, và 4 viên bi đen.
Mở rộng Quy tắc: Nếu A , B, C là các tập hợp hữu hạn, đôi
Hỏi
bao nhiêu
cáchthì:
chọnn(ABC)
1 viên bi trong
số +các
viên
bi đó?
mộtcó
không
giao nhau
= n(A)
n(B)
+ n(C)

Giải
Số cách chọn một viên bi xám là 5
Số cách chọn một viên bi trắng là 2
Số cách chọn một viên bi đen là 4
Vậy theo quy tắc cộng số cách chọn 1 viên bi trong
số các viên bi đó là : 5+2+4 = 11 cách

QUY TẮC ĐẾM
Ví dụ 4: Từ các số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có bao nhiêu cách chọn một số
hoặc là số chẵn, hoặc là số chia hết cho 3?
Gợi ý:
Gọi A = { tập hợp các số chẵn}
B={Tập hợp các số chia hết cho 3}
Khi đó: n(A) =?
n(B)=?
n( A  B )=?

Số cách chọn cần tìm là?

NXét. Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn và A B   thì:

n  A  B  n  A   n  B   n  A  B 

Tổng quát

m
phần tử

n
Giả sử A và B là các tập
phần tử
hữu hạn , không giao nhau
. Khi đó :

B
A
n  A1  A2  ...  Am  n  A1   n  A2   ...  n  Am 
Nếu A và B là hai tập hữu
hạn bất kì thì :
n  A  B  n  A   n B   n  A  B 

A

B

QUY TẮC ĐẾM
BT1: Trong một hộp chứa năm quả cầu xanh được đánh số từ 1
đến 5, ba quả cầu vàng được đánh số từ 6 đến 8 và sáu quả
cầu đỏ được đánh số từ 9 đến 14. Có bao nhiêu cách chọn
một trong các quả cầu ấy?
BT2 : Từ các số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có bao nhiêu cách chọn một số
hoặc là số lẻ, hoặc là số nguyên tố ?
BT3: Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhau, có các chữ số khác nhau
được lập từ các chữ số 1,2,3.
BT4: Một lớp có 40 HS đăng kí chơi ít nhất 1 trong 2 môn thể thao bóng
đá và cầu lông. Có 30 em đăng ký chơi môn bóng đá, 25 em đăng ký
chơi môn cầu lông. Hỏi có bao nhiêu em đăng ký chơi cả 2 môn ?
LG – BT 1

LG – BT 2

LG – BT 3

LG – BT 4

QUY TẮC ĐẾM
BT1: Trong một hộp chứa năm quả cầu xanh được đánh số từ 1 đến 5,
ba quả cầu vàng được đánh số từ 6 đến 8 và sáu quả cầu đỏ được
đánh số từ 9 đến 14.
Có bao nhiêu cách chọn một trong các quả cầu ấy?
1

2
6

9

10

4

3
7
11

5

8
12

13

14

A = { 1, 2, 3, 4, 5, } ; B = { 6, 7, 8 } ; C = { 9,10,11,12,13,14 }
Ta có: n(A)= 6; n(B) = 3 ; n(C) = 6
Số cách chọn một quả cầu là: 5 + 3 + 6 = 14 (cách)

VỀ ĐẦU

QUY TẮC ĐẾM
BT2 : Từ các số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có bao nhiêu cách chọn
một số hoặc là số chẵn, hoặc là số nguyên tố ?
Gọi A={2,4,6,8}
B={2,3,5,7}
Khi đó: n(A) =4 ;

n(B)=4

n(A  B )=1
Số cách chọn cần tìm là: n( A  B ) = n(A)+n(B) - n(A  B )
=4+4–1=7

VỀ ĐẦU

QUY TẮC ĐẾM
BT3: Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhau, có các chữ số
khác nhau được lập từ các chữ số 1,2,3.
HĐ1: Từ các chữ số 1,2,3 có thể lập được 3 số khác
nhau có một chữ số là 1,2,3.
HĐ2: Từ các chữ số 1,2,3 có thể lập được 6 số khác
nhau có hai chữ số là: 12,13,21,23,31,32.
HĐ3: Từ các chữ số 1,2,3 có thể lập được 6 số khác
nhau có ba chữ số là:123,132,213,231,312,321
Các cách lập trên đôi một không trùng nhau. Vậy theo
quy tắc cộng có 3+6+6=15 số số tự nhiên khác nhau có
các chữ số khác nhau được lập từ ba chữ số : 1,2,3
VỀ ĐẦU

QUY TẮC ĐẾM
BT4: Một lớp có 40 HS đăng kí chơi ít nhất 1 trong 2 môn thể thao bóng
đá và cầu lông. Có 30 em đăng ký chơi môn bóng đá, 25 em đăng ký
chơi môn cầu lông. Hỏi có bao nhiêu em đăng ký chơi cả 2 môn ?

Gọi A = { HS đăng ký chơi bóng đá }  n(A) = 30
B = { HS đăng ký chơi cầu lông }  n(B) = 25
và : n(AB) = 40

Vậy có : n( A B) = n(A) + n(B) – n(AB)
= 30 + 25 – 40 = 15
( HS đăng ký chơi cả 2 môn)
VỀ ĐẦU

QUY TẮC ĐẾM
* Quy tắc cộng
Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu
hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện
không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công
việc đó có m+ n cách thực hiện.

*

Cho A và B là các tập hợp hữu hạn và

A  B 

Khi đó: n  A  B  n  A   n  B  (1)
* Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn bất kì thì:
n  A  B  n  A   n  B   n  A  B 
* Nếu A1 , A2 ,..., Am là các tập hợp hữu hạn tuỳ ý đôi một không giao
nhau thì:

n  A1  A2  ...  Am  n  A1   n  A2   ...  n  Am 

II. QUY TẮC NHÂN

II. QUY TẮC NHÂN
VD: Bạn Hoàng có hai cái áo khác màu và ba quần kiểu
khác nhau. Hỏi bạn Hoàng có bao nhiêu cách chọn một bộ
quần áo?
=> Ta đặt: + Hai chiếc áo khác nhau là a, b
+ Ba quần kiểu khác nhau là 1, 2, 3
Hành động 1: Chọn áo: 2 cách (chọn a hoặc b)
Hành động 2: Chọn quần: 3 cách (chọn 1 hoặc 2 hoặc 3)
Vậy chúng ta có 2.3=6 cách chọn một bộ quần áo

II. QUY TẮC NHÂN
Quy tắc nhân

Nếu một công việc được thực hiện bằng hai hành
động liên tiếp nhau. Nếu có m cách thực hiện hành
động thứ nhất, thì ứng với mỗi cách đó là n cách thực
hiện hành động thứ hai thì công việc đó được thực
hiện bởi m.n cách.

II. QUY TẮC NHÂN
Quy tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều hành động.

Giả sử một công việc nào bao gồm k công đoạn A1, A2,..,Ak.
Công đoạn A1 có thể thực hiện theo n1 cách, Công đoạn A2
có thể thực hiện theo n2 cách, ..., Công đoạn Ak có thể thực
hiện theo nk cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo
n1n2...nk cách.

II. QUY TẮC NHÂN
VD: Từ các chữ số 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số
tự nhiên có 4 chữ số (không nhất thiết khác nhau)?
=> Gọi abcd là số có 4 chữ số lập từ các số 1, 3, 5, 7.
HĐ1: Chọn chữ số a = {1, 3, 5, 7} --> 4 cách chọn
HĐ2: Chọn chữ số b = {1, 3, 5, 7} --> 4 cách chọn
HĐ3: Chọn chữ số c = {1, 3, 5, 7} --> 4 cách chọn
HĐ4: Chọn chữ số d = {1, 3, 5, 7} --> 4 cách chọn
Theo quy tắc nhân ta có: 4.4.4.4=256 số có 4 chữ số được
lập từ 4 chữ số 1, 3, 5, 7.

II. QUY TẮC NHÂN
VD: Anh muốn qua nhà Cương nhưng phải đi qua nhà Bảo

Nhà Anh

Nhà Bảo

Nhà Cương

Hỏi Anh có bao nhiêu cách chọn đường đến nhà Cương?
=> HĐ1: Anh đi đến nhà Bảo có 4 con đường --> 4 cách đi
HĐ2: Từ nhà Bảo, Anh đi đến nhà Cương có 5 con
đường --> 5 cách đi
Theo quy tắc nhân, ta có: 4.5=20 cách đi từ nhà Anh qua
nhà Bảo đến nhà Cương

LUYỆN TẬP
Xét mạng đường nối các xã A, B, C, D và E.
C
Trong đó số viết trên một cạnh cho
4
biết số con đường nối hai tỉnh nằm A 6 B
ở hai đầu mút của cạnh. Hỏi có bao nhiêu
4
cách đi từ xã A đến xã E?
D

7
E
5

LUYỆN TẬP
TH1: Đi theo A-->B-->C-->E
+ HĐ1: Đi từ A-->B: 6 con
đường
+ HĐ2: Đi từ B-->C: 4 con
đường
+ HĐ3: Đi từ C-->E: 7 con
đường
Theo quy tắc nhân ta có:
6.4.7=168 cách đi

D

LUYỆN TẬP
TH2: Đi theo A-->B-->D-->E
+ HĐ1: Đi từ A-->B: 6 con
đường
+ HĐ2: Đi từ B-->D: 4 con
đường
+ HĐ3: Đi từ D-->E: 5 con
đường
Theo quy tắc nhân ta có:
6.4.5=120 cách đi

D

LUYỆN TẬP
Xét mạng đường nối các xã A, B, C, D và E.
C
Trong đó số viết trên một cạnh cho
4
biết số con đường nối hai tỉnh nằm A 6 B
ở hai đầu mút của cạnh. Hỏi có bao nhiêu
4
cách đi từ xã A đến xã E?
D
Þ TH1: Có 168 cách đi
TH2: Có 120 cách đi
Theo quy tắc cộng ta có: 168+120=288 cách đi
Vậy có 288 cách đi từ xã A đến xã E

7
E
5

TRÒ CHƠI Ô CHỮ
Câu 1: Từ các chữ số 1, 6, 9, 5, 4 có thể lập được bao
nhiêu số có một chữ số?
A. 5
B. 2
C. 4
D. 3

=>

A

TRÒ CHƠI Ô CHỮ
Câu 2: Nhà trường dự định khen thưởng cho 1 học sinh
loại giỏi trong lớp 11A và 11B. Lớp 11A có 5 học sinh loại
giỏi, lớp 11B có 7 học sinh loại giỏi. Hỏi nhà trường có bao
nhiêu cách chọn?
A. 5
B. 7
C. 12
D. 35
=>

C

TRÒ CHƠI Ô CHỮ
Câu 3: Có chữ số 1, 2, 3, 4. Hỏi có thể lập bao nhiêu số có
hai chữ số (không nhất thiết khác nhau) từ các chữ số
trên?
A. 4
B. 256
C. 16
D. 8
=>

C

TRÒ CHƠI Ô CHỮ
Câu 4: Bạn Nam muốn mua một áo sơ mi cỡ 39 hoặc 40.
Áo cỡ 39 có 9 màu khác nhau, áo cỡ 40 có 11 màu khác
nhau. Hỏi Nam có bao nhiêu lựa chọn?
A. 99
B. 20
C. 9
D. 11
=>

B

TRÒ CHƠI Ô CHỮ
Câu 5: Một mật mã gồm 3 kí tự: kí tự thứ nhất gồm các
chữ cái (trong 26 chữ cái la-tinh) và kí tự thứ hai và thứ ba
gồm các chữ số (trong 10 chữ số từ 0 đến 9). Hỏi có bao
nhiêu mật mã nếu kí tự thứ nhất là a? Mật mã là a**
A. 10
B. 20
C. 2600
D. 100
=>

D

TRÒ CHƠI Ô CHỮ
Câu 6: Trong một trường THPT, khối 11 có 280 học sinh
nam và 325 học sinh nữ. Nhà trường cần chọn một học
sinh ở khối 11 đi dự dạ hội của học sinh thành phố. Hỏi nhà
trường có bao nhiêu cách chọn?
A. 280+352
B. 280.325
C. 280+325 D. 208.325
=>

C